(* OPTIMIERUNG *)

(* Aufgabe 1 *)
e=Table[1,{i,4}];
q=Table[2,{i,4}];
k=Table[1,{i,4}];
p0=1;p4=1;

j[e_]:=(p0*(∏_(i=1)^4)q[[i]]-p4)/((∑_(l=1)^4)1/(e[[l]]*k[[l]])*(∏_(m=l)^4)q[[m]])

j[e]

(**************************************************************************************************)
(* Aufgabe 2 *)
Clear[e]

e=Table[enz,{i,4}];FindMaximum[{j[e],0<enz<2},{enz,1}]

Clear[e];
e=Table[enz[i],{i,4}];
fm=Table[{e[[i]],1},{i,4}];
FindMaximum[{j[e],0<e[[1]]<2&&0<e[[2]]<2&&0<e[[3]]<2&&0<e[[4]]<2},fm]

(**************************************************************************************************)
(* Aufgabe 3 *)
Maximize[{j[e],Apply[Plus,e]==8&&0<e[[1]]&&0<e[[2]]&&0<e[[3]]&&0<e[[4]]},e]

Maximize[{j[e],Apply[Plus,e]==8.0&&0<e[[1]]&&0<e[[2]]&&0<e[[3]]&&0<e[[4]]},e]

(**************************************************************************************************)
(* Aufgabe 4 *)
y[m_]:=k[[m]]^-1*(∏_(n=m)^4)q[[n]];
For[i=1,i≤4,i++,
eopt=8.0*Sqrt[y[i]]/(∑_(h=1)^4)Sqrt[y[h]];
Print[eopt]]

(**************************************************************************************************)
(* Aufgabe 5 *)
Remove["Global`*"]

etot=1;
ptime=DSolve[{p'[t]==etot*s0[t],s0'[t]==-etot*s0[t],s0[0]==1,p[0]==0},{p,s0},t]

tau=Integrate[1-p[t]/.ptime,{t,0,Infinity}]